[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] Vamos a continuar la lección de diferencias de cuadrados y otros productos notables resolviendo ahora algunos problemas. El primero dice 3 círculos concéntricos tienen radios r menos 8, r y r + 8. Si r menos 8 por r + 8 es igual a 36, encuentra sus radios. Vamos a resolverlo. Tenemos entonces que hay 3 círculos concéntricos que tienen radios r menos 8, r y r + 8 respectivamente, y sabemos que satisfacen la ecuación r menos 8 por r + 8 igual a 36. Si resolvemos esta ecuación, lo que vamos a obtener es el valor de r. Es decir de uno de los círculos y con los datos que tenemos obtendremos los otros 2. Para encontrar el resultado lo único que tenemos que hacer es el producto de la izquierda, pero observa que se trata de una diferencia de cuadrados. Entonces tenemos r cuadrada menos 8 al cuadrado debe ser igual a 36. De tal manera que r al cuadrado menos 64 es igual a 36. Despejando tenemos que r al cuadrado es igual a 100. Y hay 2 números que satisfacen que su cuadrado es igual a 100, ellos son r igual a menos 10 y r igual a 10. Por supuesto r igual a menos 10 debemos desecharlo, porque sabemos que r es el radio de uno de los círculos. Entonces nos quedaremos solamente con r igual a 10, y entonces r menos 8 es igual a 10 menos 8 que es igual a 2, y r + 8 es igual a 10 + 8 que es igual a 18. Entonces los radios de los círculos son 2, 10 y 18. Vamos a ver otro problema, este dice, un número satisface las siguientes condiciones, el producto de la suma del número + 6 por la diferencia del número menos 1 es igual al producto de la suma del número + 23, por la diferencia del número menos 6. Encuentra el número. Vamos a resolver. Como siempre en los problemas, lo primero que tenemos que hacer es escribir en lenguaje algebraico los datos que nos dan en el problema. Entonces en este caso lo que desconozco es el número que satisface las condiciones, vamos a llamar n a ese número. Entonces tengo n + 6 por n menos 1, porque el enunciado del problema dice el producto de la suma del número + 6 por la diferencia del número menos 1, esto es lo que tengo escrito, es igual al producto de la suma del número + 23 por la diferencia del número menos 6. Esas son todas las condiciones. Entonces lo que tengo que hacer es desarrollar los productos que son justamente de los productos notables que acabamos de estudiar. Vamos entonces a desarrollar y después resolvemos para encontrar el valor de n. Entonces tenemos n al cuadrado + n que multiplica a 6 menos 1 + 6 por menos 1, eso es el lado izquierdo, igual a n al cuadrado + n que multiplica a 23 menos 6 + 23 por menos 6. Y ahora vamos a simplificar. Como siempre primero observamos qué es lo que tenemos, y vemos que podemos cancelar n al cuadrado que está en los dos miembros de la igualdad. Y ahora sí vamos a simplificar. Entonces tenemos 5n menos 6 igual a 17n menos 138. Despejando tenemos 12n igual a 138 menos 6, de tal manera que n es igual a 132 entre 12. Si hacemos la operación lo que tenemos es n igual a 11. Es decir, 11 es el número buscado. Tres números pares consecutivos satisfacen las siguientes condiciones. La diferencia del cuadrado del tercero menos el cuadrado del segundo es igual al cuadrado del segundo menos el cuadrado del primero + la mitad del primero. Encuentra los números. Lo primero que tenemos que hacer es pensar que vamos a buscar 3 números pares consecutivos. Como siempre debemos tratar de escribir los 3 en términos de una única variable. Para ello vamos a observar que los números pares tienen una forma especial. Piensa en los números pares. Los positivos por ejemplo. Entonces tengo 2, 4, 6, 8, 10, etcétera, y lo que vamos a hacer es ver qué forma tienen. 2 se puede escribir como 2 por 1, 4 puede escribirse como 2 por 2, 6 se puede escribir como 2 por 3 y así sucesivamente, 10 se escribe como 2 por 5. Observamos entonces que todos estos números tienen una forma particular, son de la forma 2 por un número entero. Observa que también los números negativos pares tienen esta forma. Entonces podemos escribir 3 números consecutivos de la siguiente manera. Tenemos 2n, 2n + 2 y 2n + 4. Estos son los números que buscamos. Claro, que desconocemos n. Vamos a ver entonces cómo se escriben las condiciones del problema. Lo que dice es lo siguiente. La diferencia del cuadrado del tercero menos el cuadrado del segundo es decir, 2n + 4 al cuadrado menos 2n + 2 al cuadrado, es igual a 2n + 2 al cuadrado menos 2n elevado al cuadrado + n. Vamos a ver el lado derecho de la igualdad. Decía eso debe ser el cuadrado del segundo menos el cuadrado del primero + la mitad del primero. Y ahora ya tenemos una ecuación donde lo único que tenemos es la variable n. Vamos entonces a tratar de resolver. Del lado izquierdo lo que tenemos es 4n al cuadrado + 16n + 16. Observa que es el cuadrado de un binomio, menos 4n al cuadrado + 8n + 4, este es el cuadrado del binomio y el menos está afectando al cuadrado. Y esto es igual a 4n al cuadrado + 8n + 4 menos 4n al cuadrado + n que es lo que teníamos del lado derecho. Y ahora simplificamos. Observa que del lado izquierdo tenemos 4n al cuadrado menos 4n al cuadrado y del lado derecho también. Entonces simplificamos. Lo que obtenemos entonces es 16n + 16 menos 8n menos 4. Y esto es igual a 8n + 4 + n. Ahora simplificamos para obtener 8n + 12 igual a 9n + 4. De tal manera que tenemos n igual a 8. Todavía no tenemos los números. Los números eran 2n, 2n + 2 y 2n + 4. 2n es igual a 16 y los números que me faltan son los pares consecutivos, es decir los números son 16, 18 y 20. [MÚSICA] [MÚSICA]