Seguimos con nuestros parenthesis: con la ecuación cuadrática y su solución. Estamos viendo ecuaciones cuadráticas que no merecen la fórmula general. Entonces, si se acuerdan, me gustaría retomar las cosas. you tenemos aquí nuestra imagen. Esto es una imagen, en nuestra cabeza, de lo que es una ecuación cuadrática, y lo que es la fórmula general. La que es la buena, y que sin embargo, yo les estoy insistiendo ahorita. Habrá veces en que ésa, que es tan buena, como quiera no vale la pena usarla. ¿Por qué? Porque puede ser que tenga ecuaciones como la que tengo ahorita en la hoja, en donde aparecen solamente dos términos. En este caso hicimos una factorización. Hicimos una igualación con cero de cada uno de los términos. Y así la resolvimos. Y en el otro caso, tuvimos estos dos términos también, nada más que ahora no estaba la x. Y en ese caso fue un simple despeje, que nos llevó a resolver la ecuación. Realmente, si empiezo a utilizar you, digamos, letras, en lugar de los números, lo cual no deja de ser también un poco complicado, eh, lo que está pasando es que yo les estoy mostrando ecuaciones cuadráticas que tienen esta forma. O sea, estoy haciendo que la letra c valga 0. Okay? O el otro caso que les puse es algo así: ¿no? ax cuadrada más c igual a 0. O sea que la letra b sea igual a 0. En estos dos casos, o sea otra vez me traigo mi fórmula general aquí. O sea, estoy haciendo o que la c valga 0, que sería este caso; o que la b valga 0, que sería el caso que tenemos acá. Entonces, esos son los casos en donde yo les digo: no vale la pena traerse la fórmula general. Me gustaría ahorita tomar un caso más, bueno no, un ejemplo diríamos de este caso, el que tenemos aquí, para que vean cómo van a surgir los números imaginarios, ¿sí? Entonces, voy a poner una ecuación de este estilo, pero la más simple de todas. Yo creo que si les pusiera a ustedes a pensar en la más simple de éstas, pues dirían, bueno, a lo mejor piensen en el cero, pero yo preferiría que pensaran en el número 1. Pónganle un 1; que la a valga 1, y que la c valga 1. Y entonces, ¿qué nos queda? x cuadrada más 1 igual a 0 , ¿no? Okay? O sea, ese 1 que va aquí, detrás de x cuadrada, ni se escribe, ¿no? Y entonces nos queda la expresión así. Y para resolverla, nada de la fórmula general; simplemente yo despejo, y me queda x cuadrada es igual a menos 1. Y cuando saco raíz, aquí me quedaría: x es igual a más menos raíz de menos 1. Y en este momento nos tenemos que detener, ¿no? ¿Por qué? Porque estaríamos hablando de la raíz del número menos 1. ¿Qué quiere decir: hablar de la raíz del número menos 1? A lo mejor podría ser conveniente que en su cabeza estén ustedes pensando, por ejemplo, qué pasa cuando hablo de la raíz de 4, ¿no? Cuando yo digo raíz de 4, estoy pensando en el 2, ¿a poco no? ¿Sí? ¿Y por que pienso en el 2? Porque 2 por 2 dan 4. Okay? Pero también puede ser, o sea, cuando ponemos este más menos aquí, ¿no? que pensemos en el número menos 2, porque menos 2 al cuadrado da también 4, ¿no? Por eso es que les digo de esta precaución de poner el más menos (±) . Entonces, ahorita las soluciones fueron más menos 2. Okay? Y ambos números, el 2 y el menos 2, al cuadrado dan 4. Si aplicamos esto a esto; radical de menos 1, y estamos pensando: ¿qué es esto de más menos raíz de menos 1? O sea, la respuesta que pongamos aquí tendría que ser un número que elevado al cuadrado me dé menos 1. Pero, ¿cómo voy a hacer que un número elevado al cuadrado me dé menos 1? Si yo agarro un número positivo y lo elevo al cuadrado, me da positivo, no me va a dar menos 1, ¿no? Y si yo agarro un número negativo y lo elevo al cuadrado, me vuelve a dar positivo, no me va a dar menos 1. . O sea, esto es imposible en los números reales. O sea, en este momento uno tiene que aceptar que éste no es un número real. Okay? Y número real, cuando yo pienso en números reales - y espero que ustedes lo piensen también - nos estamos refiriendo a todos ésos que estaban en nuestra recta real. ¿Se acuerdan? O sea, ésos que son positivos, negativos, enteros, quebrados o sea, o números racionales, irracionales también, con expansión decimal finita, infinita, que puede ser periódica o puede ser no periódica, etc, etc, etc. O sea, de todo hay aquí. Bueno, pues en todos estos números que hay aquí, ninguno de ellos cumple con que su cuadrado sea igual a menos 1. En ese momento, en las matemáticas, la historia de las matemáticas dijo: hasta aquí llegamos, ¿no? O sea, realmente hay tropiezos ¿no? cuando se trabaja con estas cantidades. Y, bueno, en cierto momento, pues fueron rechazados; así como fueron rechazados los negativos también, eh. Los números negativos también han sido rechazados. Y curiosamente, cuando uno piensa en nuestro intelecto, es también algo notorio cómo se batalla ¿no? para entender esta idea del número negativo. Igual, intelectualmente o cognitivamente se batalla con aceptar esta raíz de número negativos. Pero todo en la matemática va haciendo ser, digamos, cotidiano, cuando you empieza a ser utilizado. Se sabe cómo utilizarlo, cómo manejarlo y demás. Entonces, llegó un momento en que estos números you fueron aceptados. Y se habla entonces en el campo de los, no, perdón, no, en el campo no, en el conjunto de los números vamos a ponerlo por aquí, números complejos. Okay? O también pueden llamarse números imaginarios; aunque a veces la palabra imaginario se restringe a los imaginarios puros, ¿no? Pero igual, en esto lo que yo quiero llamar su atención es sobre la aparición de estos números, como raíz de menos 1. De hecho, ésta va a ser la unidad imaginaria. O sea, raíz de menos 1 va a ser identificado con una letra, la letra i. Okay? ¡Qué curioso, no! También en la matemática, les digo que todo tiene que ver con nuestro lenguaje cotidiano, nuestra cultura y demás. Luego en matemáticas uno tiene que decir: ¿aquí qué significa? Si yo leo esta letra i, parece ser que estoy hablando de la tercera vocal, ¿no? Y sin embargo, ahorita ustedes tienen que aceptar que esa i yo les estoy forzando que acepten que la i es raíz de menos 1. Okay? Y ahora hay que saber operar con él. O sea, con este número también, ¿no? De esta manera, por ejemplo, si yo les digo raíz de menos 4, podríamos pensar que raíz de menos 4 es raíz de 4 por menos 1, ¿no? Y la raíz de 4 por menos 1 es raíz de 4 por raíz de menos 1. Y entonces aquí tenemos al número 2i. Okay? Ése es otro número imaginario, imaginario puro, ¿no? Los números complejos you van a tener entonces una parte real y una parte imaginaria. Y entonces, su representación geométrica you no va poder ser en esta recta. Mucho se adelantó en la matemática cuando se aceptó poner aquí un eje, ¿no? así, vertical y decir: aquí represento la unidad imaginaria, y aquí represento la unidad real. Y entonces, you puedo hablar, por ejemplo, de un número complejo, como por decir: 2 más i. 2 más i estaría representado en un 2 aquí, y en una unidad hacia arriba. Y aquí estaría el 2 más i, ¿no? Este punto, este lugar geométrico, estaría representando a ese número complejo. Y entonces se abre otro, digamos, potencial numérico cuando tengo aceptados a los números complejos. Ahorita, estos números complejos están apareciendo de la simple solución de una ecuación cuadrática tan sencilla como ésta, eh. ¿De acuerdo? Entonces, igual tendremos que aceptar su existencia; y tratar de interpretar las soluciones cuando sean así, de este estilo, cuál sería la interpretación para el contexto real, o el problema particular que se está resolviendo, ¿no? Como lo hemos hecho, y lo seguiremos haciendo en este curso. Por lo pronto, ahorita lo que quería era mostrarles entonces una ecuación más, donde no vale la pena la fórmula general. Es un simple despeje. Y en esta ocasión, dado que puse una c positiva, no sucedió que apareciera la unidad imaginaria Si yo simplemente les pongo, voy a aprovechar este espacio aquí, ¿no? si les pongo la c negativa, puedo poner: x cuadrada menos 1, ¿sí? Vean como que lo único que hice fue darle a la c el valor negativo, ¿sí? menos 1. Este signo de más no dice que tenga que ser esto algo positivo, eh. Este signo de más dice: dale a la c el valor que tú quieras. Si yo le doy ahorita a la c el valor menos 1, pues me quedó: x cuadrada más menos 1. O sea, x cuadrada menos 1. Si yo resulevo esta ecuación; paso el 1 al otro lado; y me queda que x es más menos raíz de 1. Y la raíz de 1 es más menos 1. No me salí del conjunto de los números reales, ¿no? Pero vean cómo este simple cambio de signo aquí, you hizo las cosas bien, bien distintas desde el punto de vista matemático, ¿no? Entonces, con esto you tendríamos nosotros sabido que estos dos estilos, digamos, de ecuaciones cuadráticas no merecen la fórmula general. En ambos vale más la pena aquí factorizar una x, y acá simplemente despejar, ¿no? En este caso nunca van a salir los números negativos, de hecho. Porque siempre va a aparecer el factor x que nos va a dar una solución real. Y la otra solución tendrá que ser real porque necesariamente cuando aparecen raíces imaginaries, aparecen por pares. Okay? Entonces, si aquí you la x es igual a 0 es solución, la otra no va a poder ser imaginaria, va a tener que ser también real, ¿no? Y las raíces imaginarias aparecieron en este caso cuando a la letra c le asignamos un valor positivo. Claro, que ahorita estoy asignando a la a el valor de 1, ¿no? Podría jugar también con los signos dos negativos, y también me daría lugar a una raíz imaginaria. Pero bueno, en este caso yo quisiera terminar con esta, con esta presentación, solamente haciendo una observación de algo que puediera haber sucedido con su aprendizaje en la solución de ecuaciones cuadráticas. Si me acompañan en esta hoja, yo les voy a inventar una cuadrática que tenga unas soluciones bien sencillas, bien bonitas, ¿no? Quiero que la solución sea x igual a 3, y que la otra solución sea x igual a menos 2. No está tan sencilla porque ahí le puse un negativo, pero nos vamos a atrever a dejar ese negativo ahí, ¿sí? Cuando quiero que la solución sea x igual a 3, entonces, éste es un factor, que al igualar a 0, me va a decir que la solución va a ser x es igual a 3. Y cuando quiero que x sea igual a menos 2 sea solución, entonces el factor x más 2, o sea, pasé éste a este lado con signo positivo, si tengo este factor, al igualar a 0 me va a dar la solución. ¿Se fijan? O sea, estoy actuando al revés. Quiero que éstas sean las soluciones. Propongo entonces esta factorización, y resuelvo, ¿no? Esto sería el producto de los binomios, de dos binomios. Multiplicamos x por esto, y x por esto. Nos queda: x por x, x cuadrada; x por 2, más 2x. Después multiplicamos el menos 3 por x, y el menos 3 por 2, que nos queda menos 3 por 2 menos 6, ¿no? igual a 0. Total, nos quedó: x cuadrada,si a 2x le quito 3x entonces me queda: menos x menos 6 igual con 0. Y entonces puedo empezar aquí el problema, y decir: Resuelve esta ecuación cuadrática. Y ustedes, bueno pues dirán, pues la solución es 3 y menos 2. Pues sí. Pues claro. Pues así la inventamos, ¿no? Okay? Pero muchas veces, lo que pasa cuando queremos aprender álgebra es que proponemos cosas así muy, digamos preparadas. Y esta ecuación cuadrática que está tan preparada, me dice entonces que haga una factorización. Y entonces es el método que se enseña en donde hacemos cosas así. Y es un método tipo, diríamos: ensayo y error. Cuando decimos ensayo y error, quiere decir: toma un, ponle un valor, y a ver si le atinaste, ¿no? ¿No le atinaste? Toma otro, y a ver si le atinaste. Ese tipo de procedimietno, realmente ahorita yo no quisiera enfatizarlo. O sea, preferiría mejor el procedimietno matemático que resulta en general. O sea, les digo: esto puede resultar bien para esta ecuación tan bonita que preparamos, ¿no? pero no para cualquiera ecuación cuadrática. Para cualquier ecuación cuadrática que se me ocurra ahorita en mi cabeza; por ejemplo un 3x cuadrada menos 5x más 8 igual a 0; eso se me ocurrió. O sea, ésta a lo mejor no la voy a poder factorizar así. Va a tener unas soluciones que sean imaginarias, o incluso pudieran ser irracionales. Y you, you no voy a poder decir: pues aquí le pongo x, y aquí le pongo x, y aquí le pongo un menos, y le pongo un 3, y aquí le pongo un más, y le pongo un 2. Para que este menos 3x más 2x me dé menos x, y este menos 3 por dos me dé el menos 6. No sé si me expliqué. O sea, yo quise aquí traer sobre la mesa este tipo de procedimiento algebraico que es muy común para resolver una ecuación cuadrática, ¿no? De aquí se pasa uno a que x menos 3 es igual a 0, x es igual a 3, y x más dos es igual a 0, y x es igual a menos 2. ¿De acuedo? Este procedimiento matemático, digamos, es aplicable en unos casos muy particulares, Okay? Y esos casos particulares, bueno, pues son los menos, ¿no? Yo quisiera decir, los casos realmente deben de ser más generales. Y en ese sentido, ahí sí digo: aquí, por favor, tráiganse su imagen. ¿Dónde está la imagen? Ésta que está aquí. Mi a vale 3. Mi b vale menos 5. Mi c vale 8. Vamos a ver qué tal la inventé. O sea, ¿cuál sería aquí nuestra solución? x es igual ¿qué haríamos acá? el menos b ¿quién sería menos b? 5 más menos raíz cuadrada de b cuadrada, que es menos 5 al cuadrado, menos cuatro por 3 por 8, sobre 2 por 3, ¿no? O sea, nos quedaría 5 más menos raíz de 25, menos, pues you, fíjense: este 4 por 3 son 12, por 8 igual dé lo que dé, 12 por ocho, you me voy a traer ahorita mi calculadorcita, pero you estoy viendo que esta cantidad que está aquí adentro es negativa, ¿no? Y si esto es negativo, entonces van a salir números imaginarios o complejos, ¿no? Y si van a salir números complejos, nunca van a ser solubles, digamos esta ecuación con este tipo de procedimiento. Entonces aquí, en este momento, aquí vamos a poner que recomiendo que la fórmula general no sea tu aleado, ¿no? Tengamos esta imagen presente en nuestras cabezas siempre. Y tratemos de evocar este proceso, ¿no? este proceso que está aquí expresado; en este procedimiento, para resolver una ecuación cuadrática. Ésta es la manera de despejar. Vean aquí un despeje. Le voy a poner así entre comillas. Estoy despejando la x, para encontrar los valores que satisfacen esta ecuación. Okay? Entonces, con esta imagen yo los dejo ahora, en este paréntesis que hemos hecho de la ecuación cuadrática. Okay? Sabemos you, de todas todas de cómo resolver la cuadrática, la que nos pongan. Okay? Y yo los espero para que retomemos nuestro tema y podamos aplicar las soluciones de una ecuación cuadrática cuando esto sea necesario.
