Сейчас давайте рассмотрим еще один пример применения теории вычетов к вычислению определенных интегралов и пример будет относительно прост и задаст нам основу для дальнейших более сложных упражнений. Рассмотрим функцию "f(z)". Функция аналитическая в комплексной плоскости за исключением точек 0 и плюс-минус мнимая 1. Рисуем контур, точнее ряд контуров, которые мы будем интегрировать. В первую очередь отметим особенности функции комплексной плоскости переменной "Z" и рассмотрим интеграл по нескольким контурам. Нас будет интересовать вычисление нескольких интегралов по разным контурам "Ci" функции "f(z)", где контуры будут выделены следующим образом... И пронумеруем эти контуры для удобства как: 1, 2, 3 и 4. Наша задача сейчас будет в том, чтобы вычислить ряд этих интегралов при "i" индексе прибегающему значению от 1 до 4. Исходя из теоремы о вычетах мы понимаем, что значение каждого интеграла по каждому из этих контуров будут определяться суммой вычетов функций лежащих внутри соответствующего контура. Поэтому первым делом определим вычеты в каждую из особых точек. Для этого нам нужно найти вычеты функции "f(z)", назовем их "Ri" в точках "Z", равное "Zi", эти точки есть плюс-минус "i" и 0. Как вы помните вычет определяется, как коэффициент при коэффициенте 1 делить на "Z" в ряде Лорана. Поэтому нам следует разложить функцию "f(z)" в ряд Лорана вблизи каждой из особых точек. Начнем с точки "Z=0". "f(z)" при "Z" вблизи 0 принимает вид 1 делить на "Z". Действительно, во втором множителе в знаменателе "Z" квадрат равняется 1 можно пренебречь и разложение таким образом стартует с 1 на "Z". Это означает, что вычет в этой точке равен 1. Пойдем дальше, и определим значение вычета в точке "Z=i". Посмотрим, как нам удобно записать значение функции "f(z)" вблизи этой точки. Во-первых, воспользуемся тождественным преобразованием, и более того, записав функцию в такой форме, оказывается удобным считать вычеты во всех точках сразу. Начнем с того, что рассмотрим, что дает соответствующее разложение вблизи "z=i". Вблизи "z=e" сингулярный фактор знаменателя последний, остальные можно положить равными их значения при "z=i", то есть соответствующее разложение имеет вид мнимая 1 умножить на удвоенную мнимую 1 это будет "-2", таким образом 1 на "-2(z-i)", и соответствующий вычет равен "-1/2". И последний шаг, определив значение вычета в точке минус мнимой 1. Для этого нужно опять воспользоваться этим разложением. На этот раз сингулярный фактор знаменателя второй. Таким образом функцию "f(z)", вблизи минус мнимая 1, будет иметь вид, значит первый и последний фактор можно изменить их значением при "z=-i" и это даст нам минус мнимую единицу умножить на удвоенную мнимую минус 1. Таким образом разложение опять имеет вид "-1" делить на "2z+i", и соответствующий вычет, минус 1\2. Давайте проверим. Хорошо. Таким образом, мы теперь теперь можем написать интеграл по всем из имеющихся конкурсов. Оказывается, что интеграл по конкурсу "С1" так как соответствующий контур не содержит внутри себя особых точек это значение равно 0. Рассмотрим контур "С2". Как видно на рисунке, этот контур включает в себя 1 особую точку "z=i", поэтому соответствующий интеграл будет равен "2Пи" мнимых 1, умножить на вычет в точке "i" есть "-1/2" интеграл "=-Пи i". Рассмотрим интеграл по третьему контур. Третий контур включает в себя 2 особых точки "i" и 0, соответствующие вычеты есть 1 и "-1/2", то есть интеграл "=Пи" мнимых 1. И напоследок определим значение по контур "С4". Для этого нужно просуммировать вычеты во всех точках. Это 1-1\2-1\2, этим образом значение интеграл равно 0. Итак, заметьте, что мы заметили сейчас некоторую особенностью этого интеграл. Кроме того, что мы вычислили интеграл по всем контур 1, 2, 3, 4 мы заметили, что интеграл по контур "4=0". В данном случае, мы вычислили интеграл суммируя вклады всех вычетов, которые находятся внутри этого контура. Скоро мы увидим, что введением особого понятия вычет на бесконечности можно вычислить этот интеграл чуть проще, сведя его так как этот контур можно воспринимать двояко, можно воспринимать, как контур огибающий все полюса внутри, и так же можно интерпретировать этот контур как контур огибающий особенность на бесконечности. К рассмотрению понятия вычета на бесконечности мы перейдем чуть позже, а пока обратим внимание на этот интеграл и мы к нему еще вернемся.
