[БЕЗ_ЗВУКА] [ШУМ] Преобразование координат. Мы с вами привыкли к тому, что положение точки на плоскости определяется парой чисел, которые мы называем декартовыми координатами. Вот мы возьмем нашу точечку M, у нее координаты будут x и y. И определяются они естественным образом: мы проектируем на ось x и проектируем на ось y. Но можно по-другому подойти к определению положения точки на плоскости. Если мы из начала координат или просто из некоторого центра проведем радиус в точку M и определим угол, который этот радиус составляет с осью Ox. Тогда положение точки M, которое раньше было определено двумя координатами x и y, теперь может быть определено в другой системе координат: r и φ. Давайте попробуем связать между собой старые и новые координаты. Очень простые треугольники здесь — прямоугольные. И мы можем с вами сказать следующее: что x = r × cosφ, а y = r × sinφ. Можем перейти в обратную сторону — от координат r, φ к координатам x и y, а именно: значит, будет равняться √ x² + y². Вы, конечно, узнали нашу великую теорему Пифагора. А вот что касается φ, здесь есть некоторые проблемы. Очевидно, что можно написать: это arctgy / x, но здесь надо быть очень внимательным со знаком, о чем мы с вами поговорим немножко попозже. Вот давайте попробуем построить в полярной системе координат кривую, которая будет выражаться следующим уравнением: r = 1 + cosφ. Эта кривая называется кардиоидой. Мы ее построим самым простым способом по характерным точкам. Обратите внимание, что в полярной системе координат вот эти вот фукнции — косинусы — усе совсем не те, которые были у нас в декартовой системе координат. Давайте возьмем табличку, не будем мудрствовать лукаво: φ и r. Начнем, естественно, с 0. Значит, если φ = 0, то r = 1 + 1 — 2. И видно, что это наибольшее возможное значение. Давайте мы здесь вот с вами будем рисовать. Это у нас O — центр. Обязательно нужно нам с вами, для того чтобы определить размер, построить полярную ось. Если это у нас с вами 1, то это 2. Правда? И вот первая точечка, которую мы с вами получили. Возьмем следующую точку. Давайте π / 6. cosπ / 6 — это √3 / 2. Значит, давайте с вами посчитаем: 1 + √3 / 2, это примерно 1 + 1.7 / 2. 1.7 / 2 — это 0.85, это примерно 1.85. Я пишу примерно, хотя можно сюда помещать и вот эти числа, просто с ними труднее будет работать. Итак, угол π / 6 мы с вами взяли. И радиус у нас с вами изменился, стал немножко меньше. Следующее мы возьмем: π / 4. cosπ / 4 — √2 / 2. Значит, следующая у нас точечка будет — 1 + √2 / 2. √2 — 1.4, 1.4 / 2 — 0.7. Значит, примерно 1 + 1.4 / 2. Значит, берем угол √π / 4 и получаем следующее. Вот сюда мы с вами попали. Берем угол π / 3, берем угол π / 2. π / 3 — когда у нас с вами угол будет π / 2 — это будет 1. Вот если мы теперь с вами соединим эти точечки плавной линией, то мы получаем нашу кривую вот в этом вот сегменте. Но, на самом деле, можно дальше продолжать. r у нас, как мы видим, не может стать отрицательным. Но, исходя из этой формулы, он отрицательным стать и не может. Поэтому мы с вами получаем следующее: если теперь мы с вами нарисуем более подробно эту кривую с учетом того, что мы взяли и остальные точки. Опять, значит, берем нашу с вами ось вот так вот. 1, 1, 2. Значит, здесь у нас с вами по 1, и получается примерно вот такая вот кривая. Нарисуем ее. Она по форме немного напоминает сердце, поэтому и называется кардиоида. Можно более подробно исследовать ее свойства, но для наших целей вполне достаточно. Давайте еще одну интересную кривую рассмотрим в полярной системе координат, которая определяется уравнением r = — пусть это будет cosφ. Если бы мы с вами были в полярной системе координат, это была бы обычная косинусоида. Но здесь это не так. Для того чтобы понять — мы не будем сейчас строить по точкам, как в предыдущем случае, а попробуем все-таки понять, действительно как она выглядит. Для этого мы перейдем в декартову систему координат, то есть осуществим перевод к координатам x и y. Давайте домножим вот это уравнение на r, получим r² = r cosφ. r² — это x² + y². Продолжаем преобразование: x² + y², а r × cosφ — это x. Перенесем все в левую часть, получаем x² − x + y² = 0. Для того чтобы лучше распознать вид этой кривой, давайте выделим здесь полный квадрат, там, где у нас присутствует x. Значит, пишем: x² − 2 × 1 / 2 x + 1 / 2 — это 1 / 4, (1 / 2)² + + y — перенесем, чтобы у нас все это было видно нормально — + y² = 1 / 4. Или — видно теперь, что это полный квадрат — (x − 1 / 2)² + y² = 1 / 4. Если вспомнить уравнение окружности, которое выглядит следующим образом: (x − a)² + (y − b)² = r², — то мы получаем следующее. a при этом у нас с вами будет равно, a будет = 1 / 2, правда? b при этом будет равняться 0. И строим теперь нашу кривую. Давайте вот так вот мы с вами поступим. Значит, проведем ось, проведем вторую ось. x − 1 / 2. Значит, центр в точке 1 / 2 — 0, что это 1 / 2. Это у нас с вами 1, и радиус — 1 / 2, правда, у нас с вами. Значит, вот так вот и вот так вот. [ШУМ] Вот. И в результате получилось следующее: что вот эта вот кривая в полярной системе координат представляет собой окружность. Можно рассмотреть и другие кривые: например, я бы вам порекомендовал попробовать самостоятельно построить, скажем, такую кривую. Давайте мы вместо y r напишем. Значит, r = sin 2φ или r =, скажем, cos3φ. Это очень симпатичные кривые. И когда вы их построите, я думаю, что они принесут вам определенную радость. [БЕЗ_ЗВУКА]
