Здравствуйте, уважаемые коллеги, уважаемые друзья! Мы продолжаем курс квантовой механики. И сегодня мы начинаем, с сегодняшней лекции, мы начинаем последний модуль нашего курса, или, может быть, правильнее сказать, первой части нашего курса — курса квантовой механики. И этот модуль будет посвящен целиком такому понятию как спин элементарной частицы. Но сегодня, на сегодняшней лекции, мы рассмотрим вопрос не физический. Мы забудем о физике совсем, и сегодня разберем вопрос о матрицах операторов. Это понадобится нам для описания спина. Итак, первое. Давайте докажем, что каждому оператору, линейному оператору, действующему в неком линейном пространстве, можно поставить в соответствие некоторую матрицу из чисел, с помощью которой мы можем найти, как этот оператор действует. Итак, пусть у нас некое линейное пространство. В этом пространстве задан некоторый оператор А, который как-то действует. Оператор предполагается линейным. Кроме того, пусть это линейное пространство, сейчас, для простоты только, все формулы легко обобщаются на случай бо́льших размерностей, пусть наше линейное пространство двумерно. Это означает, что в нашем линейном пространстве мы можем выбрать базис, состоящий из двух элементов. Пусть этот базис… базисные элементы е1, е2, и базис предполагается ортонормированным. Тогда элементу икс — тому, на который оператор действует, в нашем базисе отвечают две координаты, точнее элемент икс имеет две координаты: х1 и х2 на этом базисе. Элементу у, который получится в результате действия оператора, оператора А, тоже характеризуется двумя своими координатами — коэффициентами разложения по базису в базисе е. А это значит, что это равенство: А-икс равняется игрек фактически отвечает вот чему, что мы установили соответствие между парами чисел. Одной паре чисел — координатам того элемента, на который действует оператор, — х1 и х2 мы ставим в соответствие другую пару чисел: у1, у2 — координаты получившегося элемента. Это значит, что задание оператора эквивалентно заданию соответствия между парами чисел. А соответствие между числами — это функция. Значит задать оператор — тоже самое, что задать две функции, которые: первая функция по двум координатам элемента икс ищет первую координату, получившегося элемента, по двум координатам элемента икс (вторая функция) ищет, находит вторую координату элемента игрек. Значит, каждому оператору линейному… Как каждому? Любому оператору, действующему в нашем линейном пространстве, соответствуют две таких функции, позволяющие находить координаты получившегося элемента. Пусть теперь оператор линеен. Тогда понятно, что при действии на сумму элементов мы должны получить сумму результатов действия на каждое слагаемое. А это значит, что функции, которые характерны для оператора, для линейного оператора обязательно должны быть линейными функциями. Так что если мы первый аргумент берем как сумму двух аргументов, второй аргумент — как сумму двух аргументов, это разбивается на отдельные слагаемые. Значит, такие функции для линейного оператора должны быть линейными функциями, причем, без, что так называется, свободного члена. А это значит, что наши функции могут быть записаны так: а11 (некоторое число) умножить на х1, а12 — на х2, а21 — на х1, а22 — на х2, где числа а11, а12, а21 и а22 — некоторые числа, характерные для каждого оператора. У каждого оператора они свои. И их у нас получилось четыре штуки. Значит, эти числа мы можем разместить в матрицу, и это и есть матрица оператора. При этом, ребята, обратите внимание, что если бы пространство было бы трехмерно, то такие функции были бы от трех переменных и их было бы три. И это означало бы (функция линейна), что было бы девять чисел, которым мы тоже можем раздать им индексы соответствующие и разместить их в матрицу три на три. Что же позволяет эта матрица? А эта матрица позволяет искать координаты того элемента, на который оператор действует. А эта матрица позволяет искать координаты того элемента, на который оператор действует. Давайте посмотрим пример. Допустим у нас есть некоторый линейный оператор, который имеет такую матрицу: один, один; два, два. Как подействовать этим оператором на элемент с координатами один, два? Что при этом получится? Коллеги, давайте посмотрим на предыдущую формулу. Мы должны взять первую строчку: а11, а12 и умножить ее почленно на первую координату, вторую координату, сложить, и получится первая координата получившегося элемента. Значит, при таком действии у нас с вами… во-первых, оно может быть сведено по правилу матричного умножения, тому, которое дается в линейной алгебре, — строка на столбец — первый элемент матрицы на первую координату, плюс второй элемент матрицы на вторую, и также находится и вторая строка. Давайте-ка посмотрим, что же получится здесь, в нашем примере. Один на один плюс один на два — это три — первая координата элемента. Два на один плюс два на два — это шесть. Значит, при действии оператора, заданного вот такой матрицей, матрицу вы видите на экране, на элемент с элементами один, два получится элемента с координатами три, шесть. И так далее, на любые другие мы можем так же действовать. То есть фактически, матрица оператора — это матрица из чисел. Размерность этой матрицы совпадает с размерностью линейного пространства, и результат действия оператора можно найти, а результат действия — это координата получившегося элемента, по координатам того элемента, на который оператор действует, с помощью правила матричного умножения: строка на столбец. Ну и фактически эти формулы здесь, на экране за моей спиной, написаны. Матрицу оператора можно найти, если известны результаты его действия на базисные элементы. Смотрите, я взял нашу первую формулу: А-на-икс равняется игрек. И элемент икс, и элемент игрек представилв виде разложения по базису через свои координаты. Дальше я это равенство умножаю скаляно, конечно, и правую, и левую часть, сначала на первый базисный элемент, и пользуюсь ортонормированностью базисных элементов; потом на второй базисный элемент, и пользуюсь ортонормированностью базисных элементов. И в результате из этой формулы, которая сейчас… которую сейчас вы видите за моей спиной на экране, мы видим, что матричные элементы, то есть те числа, которые входят в матрицу оператора, могут быть найдены как скалярные произведения. Вот какие: на месте ij (i-тая строка, j-тый столбец) находится такое скалярное произведение: е-i-тое умножить на результат действия оператора А на j-тый базисный элемент. Можем доказать, что если какой-то оператор А, и мы знаем его матрицу, есть какой-то оператор В, мы знаем его матрицу, то оператору суммы отвечает матрица, равная сумме этих матриц. Это просто сложение каждых элементов. А вот оператору произведения отвечает матрица, равная произведению матриц, если под произведением мы с вами понимаем стандартное правило матричного умножения. Вот чуть-чуть похитрее это второе доказательство, но тем не менее ничего хитрого особенно нет, и в том конспекте лекций, который выложен на платформе, вы можете это доказательство найти. Следующее утверждение, связанное с матрицами. Допустим, есть какой-то линейный оператор А, матрицу которого мы знаем. А какая матрица будет отвечать оператору А-крест, сопряженному оператору А? Давайте используем нашу формулу, которую мы уже получили. Итак. Что у нас стоит в матрице оператора А-крест на месте ij (i-тая строка, j-тый столбец)? Вот такое скалярное произведение: i-тый базисный элемент умножить скалярно на результат действия оператора А-крест на j-тый базисный элемент. А дальше мы перебрасываем оператор на вторую функцию. Ведь мы знаем, что если перебросить оператор на вторую функцию, то скалярное произведение не изменится, если у оператора поставить крестик. И пользуемся, что оператор крест-крест есть сам оператор А. И мы видим, что у сопряженного оператора матрица построена так: она транспонирована и комплексно сопряжена по отношению к матрице самого оператора А. И вот на этом слайде вы доказательство сейчас видите. Еще один вопрос, связанный с матрицами операторов. Допустим, оператор задан матрицей. А как найти собственные функции и собственные значения этого оператора? Давайте решим соответствующее уравнение. Итак. Чтобы найти собственные значения и собственные функции, мы должны решить вот это уравнение, которые сейчас на экране вы видите. А давайте мы будем это уравнение решать с помощью разложения, разложения элементов по базису, ведь матрица определяется в определенном базисе. То есть фактически, делаем следующее — ищем собственную функцию в виде разложения по базису: С1 и С2 — пока не известные нам числа, и этот элемент входит в правую и левую часть нашего уравнения. Дальше пользуемся тем, что мы знаем, как оператор действует. Умножаем матрицу на столбец, строка на столбец, и получаем вот такое уравнение, вы видите его сейчас на экране за моей спиной, для неизвестных нам коэффициентов С1, С2, и неизвестного собственного значения лямбда. При этом нам нужны ненулевые решения этого уравнения С1, С2. а это это система уравнений, Если мы отнесемся к ней как к системе линейных, а она такой и является, алгебраических однородных уравнений относительно С1, С2. Когда она имеет решение? Когда определитель, составленный из коэффициентов этой системы равен нулю. Приравниваем определитель к нему и получаем уравнение на лямбда, на собственное значение. Итак, это уравнение имеет ненулевые решения только при условии, что число лямбда равно либо плюс один, либо минус один, и не для каких других чисел. Значит, именно эти два числа являются собственными значениями оператора А, а вот собственными функциями… чтобы их найти, нужно сделать следующее. Мы берем первое собственное значение, получаем систему уравнений и находим, что для первого собственного значения собственная функция должна быть устроена так: С1 равно С2. Значит, первая собственная функция вот такая: С — С. Коллеги, а где С взять? Ответ: нигде не возьмем. Из решения уравнения однозначно собственная функция не ищется. Она ищется с точностью до множителя. Вот этот множитель С, он здесь, конечно, остается свободным, как часто говорят жаргонно, он остается болтаться. Вот он так болтаться у нас с вами и остался. А вот если второе собственное значение мы подставим в систему уравнений, то мы найдем, что вторая собственная функция есть С минус С, множитель С снова, конечно, остается свободным. Коллеги, и еще одна особенность у нашего решения, решения этого уравнения на собственные значения. Тот оператор, для которого я решал уравнение, он был Эрмитов. Дело в том, что матрица была действительной и транспонированная совпадала сама с собой. А у эрмитова оператора есть такие свойства: собственные значения должны быть вещественными, собственные функции, отвечающие разным собственным значениям должны быть ортогональны, и собственные функции образуют базис в том пространстве, в котором оператор действует. Легко проверить, что те решения, которые мы получили, с этими всеми тремя требованиями совместимы. Первое: собственные значения действительно получились у нас вещественными. Собственные функции, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны. И вот это вычисление здесь, на этом слайде, проделано. Я подставил в скалярное произведение первую и вторую собственную функцию, раскрыл скалярное произведение и увидел, что оно — ноль. и вторую собственную функцию, раскрыл скалярное произведение и увидел, что оно — ноль. А вот то, что мы получили базисный набор собственный функций следует из того факта, что эти функции получились у нас линейно независимыми и их две штуки — ровно столько, какой является размерность нашего линейного пространства. То есть все требования, связанные с эрмитовостью оператора, конечно, для нашего решения выполнены. И последний вопрос, который мы сегодня рассмотрим в связи с матрицами операторов, будет такой: хорошо, допустим, нам известна матрица… дан оператор, линейное пространство, известна его матрица. Но ведь матрица у нас привязана к базису. А если мы сделаем преобразование базиса? В линейном пространстве базис и ортонормированные базисы мы можем выбирать сколь угодными способами. А что произойдет с матрицей оператора? Она изменится? Конечно, изменится. Ребята, конечно, матрица оператора зависит от того базиса, который мы выбрали в пространстве, одного и того же оператора. Итак, матричные элементы меняются, меняется матрица. Но у такого преобразования… ребята, я не буду писать формулы, как меняются матрицы оператора, они существуют, конечно, они известны, немножечко громоздкие они, поэтому я не буду из писать. Нам важно запомнить только два утверждения: при преобразовании базиса матрица оператора меняется — первое утверждение. Второе утверждение — при этом есть инварианты такого преобразования — шпур этой матрицы или след этой матрицы — сумма диагональных элементов не меняется. Именно сумма. Каждая из них может поменяться. И не меняется определитель этой матрицы. Вот эти два инварианта преобразования матрицы при преобразовании базиса существуют, и мы должны об этом помнить. И кстати, отсюда следует, что если нам задана матрица оператора, то мы легко сообразим, чему равна сумма собственных значений, ведь смотрите, если в качестве базиса мы возьмем собственные функции оператора, то тогда наша матрица будет очень простой. Смотрите, вот формулы для матричных элементов. i-тый базисный элемент умножить на результат действия оператора на j-тый элемент, но если эти элементы являются собственными для оператора, то элемент действия на j-тый элемент есть собственное значение на тот же самый элемент. И из условия ортогональности… ортонормированности базисных элементов мы заключаем, что если в качестве базиса мы берем собственные функции элемента, то матрица оператора… собственные функции оператора, то матрица оператора диагональна, на диагонали — собственные значения. Все остальные элементы этой матрицы равны нулю. Вот здесь, соответственно, эти формулы на этом слайде вы видите, связанные с ситуацией, когда в качестве базиса мы выбираем собственные функции оператора. Вот все, что мне нужно было о матрице я рассказал, а дальше все эти понятия мы будем использовать при изучении спина. Ну а на сегодня — до свидания!
