Здравствуйте, уважаемые друзья! Мы продолжаем наш курс, курс квантовой механики. Сегодня мы будем говорить о следующих, дальнейших следствиях постулатов квантовой механики. Вы значете, сегодня я расскажу немножечко о том, что в каком-то смысле я вас чуть-чуть обманул, когда формулировал постулаты. Дело в том, что все постулаты я сформулировал так, что они буквально относятся к операторам, которые имеют дискретный спектр собственных значений. По собственным функциям я везде делал разложение в ряд и суммировал, сумма по N, и мы собственные функции могли перенумеровать: первая, вторая, третья. Собственные значения: первое, второе, третье... Но оказывается, что далеко не у всех величин, с которыми мы будем иметь дело в квантовой механике, спектр собственных значений является дискретным. Существуют величины с непрерывным спектром собственных значений. И вот сегодня мы о такого рода величинах с вами поговорим. Для понимания они оказываются гораздо более трудными. Ведь представить сумму проще, чем представить себе интеграл. Ну и вот мы сегодня поговорим о величинах с непрерывным спектром собственных значений. Тем более, что главные величины, динамические переменные и координат и импульс, – это именно величины с непрерывным спектром собственных значений. Итак. Пусть есть вот такая величина, которая имеет непрерывный спектр собственных значений. Как, во-первых, мы перенумеруем эти собственные функции? А нумеровать их не надо. Фактически, эта функция является функцией непрерывной переменной не только координаты Икс, но и самого собственного значения. То есть, мы как бы будем указывать в качестве индекса, можно было указать эту переменную и в качестве аргумента функции, будем указывать в качестве индекса индекс собственного значения, который пробегает непрерывный ряд значений. Это первое утверждение. То есть фактически, эти функции мы будем нумеровать как Эф-А от Икс, где А – это то самое, собственное значение, которому эта функция отвечает. Следующее отличие дисретного от непрерывного спектра. Если разложение по функциям дискретного спектра было разложение в сумму, то разложение по функциям непрерывного спектра – это разложение в интеграл. Но вот прежде, чем к этому разложению перейти, давайте докажем еще одно утверждение, которое сначала будет касаться дискретного спектра, а потом непрерывного. Итак, давайте докажем, что если какой-то оператор обладает дискретным спектром собственных значений, то интеграл от квадрата собственной функции обязательно сходится. А потом докажем, что интеграл от квадрата собственной функции, отвечающий непрерывному спектру собственных значений будет расходится. Смотрите, итак, это система базисная, поэтому любую волновую функцию мы можем разложить по системе собственных функций. Если это дискретный спектр, то разложение имеет вот такой вид, где Сn – некоторые числа. Умножаем это равенство на функцию Эф-эм комплексно сопряженную и интегрируем. Тогда в правой части мы должны с вами воспользоваться условиями ортогональности собственных функций. Сумма пропадает, и мы получаем в левой части интеграл от волновой функции и собственной функции, в правой части число умножить на интеграл от квадрата Эм-ной собственной функции. Смотрите, интеграл левой части мы всегда можем сделать сходящимся выбором функции Пси. А это значит, что и правая часть должна быть конечна. С-М – это числа и значит, конечным является интеграл. Следовательно, интеграл от квадрата собственной функции, любой собственной функции эрмитового оператора, отвечающий дискретному спектру собственных значений, сходится, он меньше единицы. А вот теперь давайте рассмотрим такого же рода разложение для функции неперерывного спектра и докажем, что интеграл от квадрата каждой собственной функции расходится. Итак. Во-первых, разложение. Разложение должно быть разложением в интеграл. Интегрировать мы должны здесь по индексу, по собственному значению. Ведь мы должны перебрать в этом разложении все все возможные собственные функции. Функция С, которая, как бы, конечно, функция непрерывной переменной, но я буду называть ее, все равно, коэффициентом разложения, как бы вот используя ту терминологию, которая была для дискретного спектра. Итак, С от А – коэффициенты разложения, тоже я буду их именно так называть. Давайте возьмем это равенство умножим его и правую, и левую часть на комплексно сопряженную собственную функцию от какого-то значения индекса А-штрих. Дело в том, что снаружи этого интеграла о том, чему равен А никто не знает. По А там суммирование. Какую-то конкретную собственную функцию, отвечающую конкретному значению А-штих мы интегрируем. И дальше в левой части мы получаем вот такой интеграл, сейчас вы видите его за моей спиной. От собственной функции А-штрих и волновой функции квантовой системы, а в правой части мы имеем вот такую конструкцию. Причем, эта конструкция очень странная. Смотрите, интеграл по Икс здесь отличен от нуля, это подинтегральная функция, функция двух переменных. От А и А-штрих она зависит, ведь мы по Икс проинтегрировали, от А и А-штрих зависимость останется. Что же это за функция? Ответ: эта функция отлична от нуля только при А равном А-штрих. Ведь здесь мы имеем условия ортогональности собственных функций. Собственные функции, неважно, дискретного спектра, непрерывного спектра, при разных собственных значениях ортогональны. Значит, тот интеграл по Икс, который мы видим в правой части отличен от нуля только если А равно А-штрих. А потом мы интегрируем то А. То есть фактически, мы интегрируем функцию, которая отлична от нуля только в одной точке и интеграл от нее должен быть каким-то числом. Как такое возможно? Если в этой точке эта функция равна бесконечности, причем понятно, что эта бесконечность должна сводиться к дельта-функции, и следовательно, вот такой интеграл, который мы видим в правой части от двух собственных функций, должен давать нам дельта-функцию от А минус А-штрих. Вот это условие, которое здесь написано за моей спиной, называется условием нормировки собственных функций непрерывного спектра на дельта-функцию. Коллеги, обратите внимание, что функции дискретного и непрерывного спетра, вот мы уже видим сейчас, они очень сильно друг от друга отличаются. Ну и если наша собственная функция нормирована так, как написано вот здесь, то для коэффициентов разложения мы получаем вот такую замкнутую формулу, которую мы будем просто реально использовать для нахождения коэффициентов разложения волновых функций по системе собственных функций непрерывного спектра. Еще одно отличие волновых функций или собственных функций дискретного или непрерывного спектра. Постулат номер четыре говорил нам о том, что квадраты коэффициентов определяют вероятности. Коллеги, это точно здесь не может быть выполнено. В том числе и, например, из соображений размерности. Смотрите, вот сейчас я попытаюсь показать эти формулы. Когда мы раскладываем волновую функцию квантовой системы по собственным функциям непрерывного спектра, то мы здесь хорошо видим, что коэффициенты С не являются безразмерными. Эти коэффициенты размерные величины. А раз так, то их квадраты не могут быть коэффициентами. Как же быть? Здесь ситуация следующая. Можно доказать, рассматривая переход от дискретного к непрерывному спектру, что вероятность не определяется квадратным модулем коэффициента. Вероятность определяется гораздо хитрее. Дело в том, что когда мы имеем непрерывный спектр собственных значений, их настолько много, что любое наперед заданное число, никогда не может быть намерено в результате измерений. То есть фактически, множеством всех действительных чисел, ну, как говорят математики, есть множество меры Континуум. И каждое, наперед заданное значение, никогда не может быть измерено. А это значит, что в случае непрерывного спектра собственных значений оператора имеет смысл говорить только о вероятности того, что результат нашего измерения попадет в некоторый интервал, интервал собственных значений. И вот тогда, рассматривая переход от дискретного спектра к непрерывному спектру, можно доказать, что вероятность того, что результат измерения физической величины А попадет в некоторый интервал от А, какого-то значения до А плюс Де-А, где Де-А – некоторый бесконечно малый элемент. Есть квадрат модуля коэффициента разложения по собственным функциям непрерывного спектра, умножить на величину интервала Де-А. И вот эта формула, сейчас вы видите ее на экране. Конечно, модернизируется в случае непрерывного спектра собственных значений и условие полноты системы собственных функций. Ведь в условии полноты у нас была сумма, сумма по N, по индексу, которым нумеровались собственные функции. А теперь мы их не нумеруем. Здесь, это, конечно тоже должен быть интеграл. И вот здесь интеграл, который дает условие полноты здесь написан. И это интеграл по собственному значению, по индексу, и сводится он к дельта-функции от Икс минус Икс-штрих. Ну и наверное, последнее, о чем я хотел сказать в связи с функциями непрерывного спектра, это вот о чем. Что сами эти функции тоже нормированы неправильно. Это означает, что квадрат модуля каждой собственной функции, это величина не с той размерностью, которой нужно. Поскольку интеграл от квадрата каждой собственной функции расходится, то она, собственная функция, не может определять вероятность различных значений координат. Ведь для этой вероятности не будет выполнено условие нормировки. Но можно доказать, что отношение любой собственной функции квадратов модулей в двух точках есть отношение вероятностей того, что при измерении координаты мы получим вот такое или такое значение. Ну и соответствующая формула здесь на экране, за моей спиной написана. Я закончил то, что я хотел сегодня сказать. Давайте повторим еще ключевые идеи, связанные с непрерывным спектром собственных значений. Главное утверждение. Итеграл от квадрата каждой собственной функции расходится. Эти функции, следовательно, нельзя нормировать Следовательно, они не могут определять вероятность различных значений координат. Следовательно, коэффициенты их разложений по системам любых собственных функций не могут определять вероятности тех или иных физических величин. Все это очень сильно отличает дискретный спектр от непрерывного. Но я надеюсь, что мы с вами научимся работать и с непрерывным спектром собственных значений, с такими величинами. Коллеги, ну и вы знаете, скоро нам уже с вами предстоит провести два семинара, посвященных вот тем вопросам, о которых мы сегодня с вами и на предыдущей лекции говорили. Ну и я думаю, что, решая вот такие тестовые задачи, которые я анонсировал во вступлении к нашему курсу, мы гораздо лучше поймем, и принципы и как бы матетматеческие следствия.
