Bonjour. Donc dans la dernière vidéo, on s'était intéressé à la notion d'extension de corps, Donc dans la dernière vidéo, on s'était intéressé à la notion d'extension de corps, et on avait regardé des extensions particulières, notamment des extensions algébriques. Alors aujourd'hui on va s'intéresser à des corps particuliers, ce sont les corps algébriquement clos, ceux pour lesquels la notion d'extension algébrique est en fait triviale, comme on le verra dans un sens précis. Alors donnons une définition. Un corps petit k est dit algébriquement clos si pour tout polynôme non constant à coefficients dans petit k, il existe une racine une racine dans petit k. Alors question, il existe une racine, plusieurs racines? Est-ce que toutes les racines sont dans petit k, c'est l'objet du résultat suivant. Et bien donnons une proposition qui explique que en fait il admet toutes ses racines dans petit k lorsque le corps est algébriquement clos. La proposition est donc la suivante : soit P un polynôme à coefficients dans k, eh bien ce polynôme est automatiquement scindé, c'est-à-dire que toutes ses racines sont dans k, il se décompose en produits de facteur du premier degré. Alors pourquoi ça? Alors partons de P appartient à k de X, un polynôme non constant. Par définition, le corps étant algébriquement clos, il admet une racine petit x a. Or, nous savons, Olivier vous a expliqué pourquoi, que x 1 est racine du polynôme P entraîne que x moins x 1 se met en facteur dans P, avec un quotient grand Q qui est un polynôme à coefficients dans k. P égal X moins x 1 facteur de Q. Le degré de Q a chuté et donc, par récurrence, on déduit que Q est scindé dans petit k, et en recollant les morceaux, on déduit que P s'écrit petit a, une constante, fois le produit de x moins x i ou des x i et petit a sont dans k. On a démontré la première partie du théorème. Pour la seconde, partons donc d'un nombre algébrique, d'un élément algébrique sur petit k, dans un gros corps k donné, il annule un certain polynôme P non nul à coefficients dans k. Eh bien, ce polynôme est non nul, il a une racine, il ne peut pas être constant, donc d'après le résultat précédent, toutes ses racines et il en a, sont dans petit k, ce polynôme est scindé, si toutes ses racines sont dans petit k, c'est qu'en particulier petit x qui est une de ses racines est dans petit k, et donc vous voyez que tous les éléments qui sont algébriques sont petit k sont en fait dans k, et donc vous vous apercevez que toute extension algébrique de k est réduite à k. Alors donnons un exemple bien connu, très utile que vous avez rencontré en algèbre linéaire, bien souvent et ailleurs, le corps C des nombres complexes. C'est un corps algébriquement clos. Alors il y a beaucoup de raisons pour ça, les gens ont cherché pendant longtemps des preuves algébriques, sans analyse, montrant que C était bien un corps algébriquement clos. En fait on n'y arrive pas, alors donnons deux preuves ici. Alors regardons. Premier argument, pour le lecteur ou l'auditeur en tout cas savant qui connait les fonctions holomorphes, Alors dans ce cas, vous partez d'un polynôme à coefficients complexes et, non constant, et vous voulez prouver qu'il s'annule quelque part. Ben supposez le contraire, P ne s'annule jamais sur C, vous regardez la fonction f de z, 1 sur P de z. C'est une fonction qui ne s'annule nulle part, donc c'est une fonction disons au moins continu, et elle est holomorphe sur C c'est-à-dire que de même que P est dérivable au sens complexe, f est dérivable au sens complexe. Bien, cette fonction est bornée, ça, c'est un calcul de limite que je vous invite à faire, et là, si vous connaissez la théorie des fonctions holomorphes, un des premiers résultats qui s'appelle le théorème de Liouville nous dit qu'une fonction qui est holomorphe sur le plan complexe tout i entier et bornée est automatiquement constante. Si f est constante, c'est que P est constant, et on a supposé que P ne l'était pas, d'où une contradiction. C'est donc que P s'annule quelque part. Alors vous n'êtes pas obligé de connaître les fonctions holomorphes. Donnons un argument, très joli, qui, officiellement en tout cas, n'utilise pas les fonctions holomorphes, en fait il les cache un petit peu parce que les idées viennent de la théorie des fonctions holomorphes. Alors pour ça, on introduit toujours ce 1 sur P, on suppose que P ne s'annule jamais, on peut considérer 1 sur P, on va introduire une moyenne de 1 sur z P sur le cercle de centre l'origine O et de rayon petit r, l'intégrale sur C de r de d z sur z P de z. Ca se calcule très facilement, vous faites z égal r exponentielle i thêta, vous faites le changement de variable, et vous trouvez que c'est i fois l'intégrale de 0 à 2 pi de d thêta sur P de r exponentielle de i thêta. Avec cette expression, les théorèmes usuels d'interversion de limites intégrales très simples dans ce cas vous montrent quoi? Premièrement, quand r tend vers 0, ben P se comporte à peu près comme P de 0, C de r a pour longueur 2 i pi r quand vous faites le calcul, vous trouvez que la limite de m de r, quand r tend vers 0, c'est 2 i pi sur P de 0. D'autre part, si vous regardez dans l'autre sens r très grand, la limite quand r tend vers l'infini, bon ce P de r exponentielle de i thêta est tout petit de façon uniforme et vous en déduisez que la limite de m de r quand r tend vers l'infini c'est 0, on a supposé P non constant, le degré de P est strictement positif, donc ça vous dit bien que cette limite est nulle. Alors d'autre part, moi je vais démontrer en fait que ce m de r qui a l'air de dépendre fortement de r est constant. Alors pour ça on fait un petit calcul. On calcule la dérivée de m par rapport à r, les théorèmes généraux montrent que c'est dérivable, et que la dérivée est obtenue en dérivant sous le signe somme, c'est i fois l'intégrale de la dérivée partielle par rapport à r. Faites un petit calcul, c'est là où en fait, d'une certaine manière, vous cachez les fonctions holomorphes et vous trouvez que ça vaut 1 sur r, l'intégrale de 0 à 2 pi, de la dérivée partielle par rapport à thêta de la même expression. Ben vous avez donc l'intégrale d'une dérivée par rapport à thêta d thêta, c'est donc que vous pouvez primitiver, et vous trouvez 1 sur r, pour la différence des valeurs entre 2 pi d'une part et 0 d'autre part de cette fonction, mais comme l'exponentielle de i thêta est 2 pi périodique, vous trouvez que ça vaut 0. Vous avez une dérivée qui est nulle, c'est donc que cette fonction est constante. Si cette fonction est constante, c'est donc que la limite quand r tend vers 0 est aussi la limite quand r tend vers l'infini, vous comparez les valeurs que vous venez de trouver, et vous trouvez que 2 i pi sur P de 0 qui vaut 0, et c'est quand même assez ennuyeux parce que 2 i pi sur P de 0 n'est pas nul, vous avez une contradiction. Vous avez démontré que C est algébriquement clos. Je trouve que c'est une assez jolie démonstration. Donc le corps des nombres rationnels Q est contenu dans le corps des nombres complexes qui est un corps algébriquement clos. C'est un phénomène qui est en fait tout à fait général, grâce au théorème dit de Steinitz, le mathématicien qui l'a démontré, qui dit que tout corps est contenu dans un corps algébriquement clos. On vous donnera une lecture qui prouve ce théorème, la preuve est assez abstraite, pas très utile de la lire mais pour les MOOCers intéressés, elle sera disponible. Donc faisons le bilan, étant donné n'importe quel corps petit k, il existe un corps algébriquement clos, qu'on notera dans ce cours de manière générique oméga, qui contient un petit k. Ce corps oméga n'est absolument pas unique. Pourquoi? Ben par exemple parce qu'on peut considérer oméga alg l'ensemble de tous les éléments de oméga qui sont algébriques sur petit k. On sait, on a vu que c'est un corps, une extension algébrique de petit k qui est un corps et on verra en exercices que ce corps est lui aussi algébriquement clos. Dans le cas de l'exemple précédent, Q contenu dans C, C alg est très différent de C, comme on le verra aussi en exercices. Ce corps oméga alg s'appelle la clôture algébrique de k dans oméga. Alors c'est un peu abusif on a l'impression, pourquoi la clôture algébrique de k puisque a priori on a choisi un corps oméga qui contient petit k? Ben tout simplement parce qu'on montrera aussi plus tard que cette clôture algébrique est unique à isomorphisme près dans un sens qu'on détaillera. Dans ce MOOC on utilisera également une autre notion très utile qui est la suivante : étant donné un polynôme P à coefficients d'un petit k, on va définir le corps grand K des racines de P, sous-entendu dans oméga qui a été choisi une fois pour toutes, qui est tout simplement le corps engendré sur petit k par les racines oméga i de P dans oméga. P est scindé, toutes ses racines sont dans oméga a et on prend le corps engendré et on a vu que c'était simplement les expressions polynomiales dans les oméga i. On sait qu'on a à faire ici à une extension non seulement algébrique de petit k, mais finie, de dimension finie sur petit k. De même que pour la clôture algébrique de petit k, le corps des racines de grand K ne dépend essentiellement pas du choix de oméga a, en tout cas à isomorphisme près. C'est une notion sur laquelle on reviendra quand on étudiera en détails la notion de groupe de Galois. Je vous remercie d'avoir choisi cette vidéo et je vous dit à bientôt.
