[MUSIQUE] Bonjour, nous allons continuer notre étude des extensions en nous approchant d'un résultat qui sera la base de notre approche de la théorie de Gallois, à savoir, le théorème de l'élément primitif. Alors de quoi s'agit-il? Pour l'instant, on a rencontré essentiellement deux types d'extensions algébriques d'un corps petit k, les extensions de type, k de x, on appelle ça les extensions monogènes, engendrées par un seul élément, petit x, avec x, algébrique ; et d'autre part, les extensions de type, k de x1, x2, x3, x m, où les x i, sont des éléments algébriques. Eh bien, le théorème de l'élément primitif nous dit que, le plus souvent, ces deux notions coïncident, c'est-à-dire que, si vous avez une extension algébrique qui est engendrée par deux, trois, n, éléments, eh bien vous pouvez trouver un élément, de beaucoup de façons possibles, qui engendre l'extension ; donc, cette extension qui, a priori, était engendrée par beaucoup d'éléments, est engendrée par un unique élément, on dira, un élément primitif. Alors, ce résultat, quel est-il précisément? C'est le théorème de l'élément primitif, en caractéristique nulle, on pourrait en donner une version en caractéristique positif, on ne le fera pas ici, ce ne sera pas nécessaire pour nous. Partons donc d'une extension finie, grand K de petit k. Eh bien j'affirme que, si k est de caractéristique nulle, il existe un élément, petit x de grand K, tel que grand K égale, k de x. On dit que l'extension est monogène, parce qu'elle est engendrée par un seul élément. Et les éléments x, tels que grand K égale, k de x, s'appellent des éléments primitifs de l'extension. La preuve elle-même nous dira que, il y a beaucoup d'éléments primitifs dans une extension, et ce sera détaillé en exercices. Alors on ne va pas, tout de suite, ici, démontrer le théorème de l'élément primitif, on va démontrer un lemme clé, qui nous permettra ensuite, très facilement, d'en déduire le théorème de l'élément primitif. Alors, quel est ce lemme? J'ai envie d'appeler ça, le lemme vers l'élément primitif. De quoi s'agit-il? On se donne x et y, deux éléments algébriques sur k, deux éléments dans un corps oméga, algébriquement clos, contenant petit k, qu'on aura choisis. Supposons que, x et y, soient annulés par des polynômes, à coefficients dans petit k, qui sont à racines simples dans oméga, et supposons de plus que k est infini, alors il existe, t, appartenant à petit k, tel que, k de x y, égale, k de x plus, t y. On est typiquement dans une situation type théorème de l'élément primitif, puisque d'une part vous avez, k de x y, un corps engendré par deux éléments, qui est égal à, k de x, plus t y, pour t bien choisi, qui est donc engendré par un élément, x plus, t y, un élément primitif. Alors comment on fait ça? On commence par choisir un polynôme annulateur de x, P indice x, qui est de plus à racines simples, dans oméga. On note, x1, xm ces racines. C'est possible d'après l'hypothèse du théorème. On fait la même chose pour y, et on obtient un polynôme P indice y. Et, pour t, scalaire non nul de k, on pose, z égal, t x plus y, et j'appelle L égale, k de z. On devrait noter L indice t, puisque ce L dépend, à priori, du t, qu'on aura choisi. Notre but est de montrer qu'on peut ajuster, t, donc z, de sorte que, k de x y, égale, L ; et donc qu'il suffit en fait d'ajuster t, pour montrer que, x appartient à L. Alors je dis que ça suffit, ça ; ça a l'air un peu moins fort, mais ça suffit. Supposons qu'en effet, on a réussi à trouver un t, tel que x appartient à L, alors j'écris simplement, y égale, z moins t x, z bien sûr appartient à L, puisque L égale, k de z, x appartient à L par hypothèse, t appartient à petit k, qui est contenu dans L, donc on en déduit, y appartient à L. On a donc, x appartient à L, y appartient à L, c'est donc que, k de x y, en tout cas est inclus dans L, mais comme L est inclus lui-même dans, k de x y, on a bien, k de x y, égale L. Et on a terminé. Donc, l'idée de base, ici, c'est de construire deux polynômes, qui annulent petit x. Alors, on a un premier polynôme, qui est P indice x, par définition, le seul polynôme différent de P indice x, qui est à notre disposition c'est, P indice y. Alors je pose, Q de X, égale, P indice y de, z moins grand X, sur petit t. Par construction c'est un polynôme à coefficients dans L, tout simplement parce que z et t sont dans L, et il annule x, tout simplement parce que, z moins petit x, sur t, vaut y ; donc, q de petit x, c'est, P y de y, c'est zéro. Cela nous invite, d'après ce que vous avez vu avec Olivier, à considérer le pgcd de Q et P indice x, que je vais appeler R. Alors Q appartient à L de X, P indice x appartient à L de X, ce sont deux polynômes à coefficients dans R. On sait qu'on peut calculer le pgcd grâce à l'algorithme d'Euclide. On en déduit que R est lui aussi à coefficients dans L. Alors maintenant il y a une seconde façon de calculer un pgcd, c'est que vous décomposez les deux polynômes en produits de facteurs du premier degré, c'est-à-dire essentiellement, vous considérez les racines, et le pgcd sera le produit des x moins, disons x i, où x i seront les racines communes des deux polynômes. Cela c'est valable quand les deux polynômes sont à racines simples, on s'est placé dans cette situation-là, donc on peut affirmer que, R de X c'est le produit des X moins x i, où x i sont les racines de P indice x, qui sont aussi racines de Q. Donc c'est le produit sur les indices i tel que, Q de xi, égale, zéro de X moins x i. Alors calculons maintenant les racines de Q de X. Q de X s'exprime en fonction de P de y. P de y, on sait le factoriser, c'est le produits des X moins yj. On en déduit que ses racines s'écrivent, z moins t yj, c'est-à-dire, x plus t facteur de, y moins yj. Donc, Q de xi, égale, zéro, si et seulement si il existe un indice j, tel que ce x i va être égal à un, z moins t yj, ou encore à, x plus t facteur de, y moins yj. On en déduit qu'il y a deux cas. Soit j égale 1, et on retrouve la racine commune évidente, xi égale x ; qui nous donne un premier facteur de premier degré dans le calcul du pgcd. Soit, un nombre fini de possibilités, qui correspond à, j moins 1, strictement positif, et à, t égale, xi moins x, sur, y moins yj. Comme k est infini, je peux choisir un t, non nul dans k, tel que, t est différent de toutes ses mauvaises valeurs, c'est-à-dire, t différent de tous les, xi moins x sur y moins yj, pour toutes les valeurs de i, et toutes les valeurs de j, j non nul bien sûr. Un tel t étant choisi, par construction, x égale x1 est la seule racine commune de Px et de Q. Px et Q, qui sont par construction deux polynômes à racines simples. On en déduit que, R, le pgcd de, Q et Px, est simplement, grand X moins petit x, ce facteur du premier degré. On se souvient alors que, grand R est un polynôme à coefficients dans L, ce qui entraîne que, moins son terme constant, c'est-à-dire petit x, est lui aussi un élément de L, x appartient à L. C'est ce qu'on devait démontrer pour terminer la preuve, du lemme vers l'élément primitif. Alors c'est une démonstration difficile, que je vous invite à étudier. On se servira surtout du résultat, mais, comme vous le voyez, elle est très intéressante. Donc je vous remercie d'avoir suivi cette séance, et je vous dis, à bientôt.
