Dans cet exercice nous allons démontrer que, étant donné une distribution grand S, il existe une distribution grand T telle que x fois T, donc, définie comme produit de la fonction C infini x par la distribution grand T, est égale à S. En quelque sorte, il s'agit de diviser une distribution S par une fonction x, mais comme la fonction 1 sur x est singulière en zéro, on ne peut pas dire que c'est une multiplication de S par 1 sur x. Donc, cette division pose certainement des problèmes et des questions. Donc, dans cet exercice, nous avons besoin d'un rappel, c'est une propriété qui a déjà été écrite dans un exercice précédent. Donc, le rappel est le suivant : si f est une fonction C infini à support compact sur R, qui s'annule en zéro, alors la fonction qui à x associe f de x sur x est également une fonction test, c'est-à-dire une fonction C infini à support compact sur R, également. Cette propriété a été démontrée par la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre zéro. Une deuxième remarque, vue dans le cours, c'est que x multiplié par la masse de Dirac en zéro, c’est égal à la valeur de x en zéro, c'est la valeur zéro multiplié par la masse de Dirac. Donc ça fait tout simplement zéro. C'est-à-dire que, si nous trouvons une solution générale, enfin, si nous trouvons une solution de x T est égal à S, on pourra toujours rajouter une constante fois une masse de Dirac, et ça donnera d'autres solutions. C'est-à-dire que la distribution T ne sera connue qu'à une constante fois une masse de Dirac près. Finalement, encore une remarque, on cherche une distribution T telle que, par définition du produit, quel que soit psi, une fonction test, donc C infini à support compact sur R, x T fois psi, qui par définition est égal à T pris en x, psi, est égal à S, psi. Donc, si jamais vous avez une fonction test, phi, si phi, une fonction test, s'écrit sous la forme x, psi, alors vous connaissez déjà une bonne expression de T appliqué à phi, qui serait tout simplement S sur psi, appliqué en psi, c'est-à-dire S de phi de x, divisé par x. Or, nous avons vu que si phi de zéro est égal à zéro alors phi de x sur x était bien une fonction test, c'est-à-dire que pour les fonctions test qui s'annulent en zéro, nous avons une expression naturelle de T, phi, qui est tout simplement S, phi de x sur x, c'est-à-dire la distribution en S appliquée à la fonction test phi de x sur x. Bien sûr, toutes les fonctions phi ne sont pas nulles en zéro. Donc il faut trouver une solution pour se ramener à ce cas-là. Donc, prenons maintenant une fonction test, que j'appelle khi, qui a les propriétés suivantes : je suppose que khi, est égal à 1 pour x en valeur absolue inférieur à 1, khi est égal à zéro pour x en valeur absolue plus grand que 2, et puis je prends khi, entre zéro et 1, donc c'est une fonction plateau, donc qui est facile à tracer, disons. C'est quelque chose comme ça. Il y a un raccord, ici, C infini, avec le point 2 et avec le point moins 2. Cette fonction khi va nous permettre de retirer la valeur de phi en zéro, par la formule suivante. Donc, d'après les observations précédentes, il est naturel de poser, cette fois-ci, pour tout phi, fonction test, T, phi égal à S, non pas appliqué à phi de x sur x, qui ne serait pas une fonction test, mais appliqué à un phi de x moins phi zéro, khi de x, divisé par x. Et après, comme on l'a vu, on peut rajouter un certain nombre, lambda fois une masse de Dirac en zéro, donc lambda fois phi de zéro. Alors pourquoi cette expression avec le Khi de X? On aurait envie de considérer tout simplement T, phi égale S appliqué à un phi de x moins phi de zéro sur x mais phi étant à support compact, si phi zéro est non nul, phi de x moins phi de zéro n'est plus à support compact. Donc il faut utiliser une fonction auxiliaire Khi qui nous permet de retirer la valeur de phi en zéro, tout en gardant une fonction à support compact. Donc voilà la bonne façon de faire dans cet exercice. Ce que je vous propose de faire maintenant, c'est de prendre cette formule comme définition de la distribution T et de montrer, qu'en effet, c'est bien une distribution et qu'elle vérifie bien la propriété demandée dans l'exercice. Donc, nous allons vérifier que la formule donnée donne bien une distribution. Donc, rappelons-nous que S est une distribution et, donc, comme c'est une distribution, elle vérifie la propriété de linéarité et la propriété de continuité. Ce qui signifie la chose suivante : si je prends un K, un compact inclus dans R, et une fonction test phi, C infini à support dans K, par définition, je sais que S appliqué à phi, est plus petit que C K norme de phi, indice p K virgule K. Donc, nous pouvons appliquer cette majoration à la quantité qui a servi à définir T. Donc, nous obtenons valeur absolue de S appliquée à phi, moins phi zéro, Khi, sur x, et majorée par C K, norme de phi moins phi zéro, Khi, sur x, p K, K, par définition, donc, d'une distribution, de la distribution S. Maintenant nous faisons une observation, nous allons justifier juste après. Cette quantité-là est majorée tout simplement par une autre constante qui dépend de K fois phi en norme p K plus 1 virgule K. Alors, la raison pour laquelle nous pouvons écrire une telle majoration ressemble à la résolution de l'exercice dont nous avons parlé tout à l'heure, qui consiste à dire que si phi, si f est une fonction test qui s'annule en zéro, alors f de x sur x est aussi une fonction test. Donc, la démonstration de la propriété qui est là est très comparable, elle consiste à dire que, donc, si f est une fonction test, donc à support dans K, qui vaut zéro en zéro, donc, non seulement phi de x sur x est une fonction C infini à support dans K, mais les normes de phi de x sur x, p K, K, sont majorées par une constante fois f p K plus 1, K. Et ceci vient tout simplement de la même formule qui a permis de montrer la propriété que f de x sur x était une fonction test, c'est-à-dire f de x sur x est égal, formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre zéro, si l'on veut, à f prime de t x, d t. Donc, c’est cette même formule qui permet de démontrer ce résultat. Et donc, nous obtenons, sur t, la propriété de continuité, à partir de la propriété de continuité sur S. Donc, T est bien une distribution, la linéarité de T étant évidente à partir de la linéarité de S. Finalement, montrons que T répond à la question. Donc, on calcule x T appliqué à phi, on trouve T appliqué à x, phi. Mais quand j'applique T à x, phi, tous les termes en phi zéro font zéro, parce que, ici, on applique un phi qui vaut x fois phi, donc ça s'annule en zéro. Et donc, tout ce qu'il nous reste, c'est S, x phi sur x, et donc bien sûr ça fait S, phi. Donc T répond bien à la question posée.
