Alors, dans la deuxième partie de ce cours, nous avons vu la formule des sauts en dimension 1, et nous allons essayer de la généraliser à des dimensions d'espaces supérieurs. Et, pour faire cela, nous allons avoir besoin de définir l'intégration de fonction sur des espaces courbes, c'est-à-dire sur des courbes en dimension 2 d'espaces et sur des surfaces en dimension 3. Alors, en effet, l'analogue de la formule des sauts en dimension supérieure à 1 va mettre en jeu des fonctions de classe C 1 par morceaux ayant des discontinuités de première espèce. Ces discontinuités de première espèce vont être portées par des courbes en dimension 2 d'espaces, et par des surfaces en dimension 3 d'espaces. Il faut donc définir l'analogue en dimension supérieure à 1 du terme dans la formule des sauts de dimension 1, qui faisait intervenir des masses de Dirac aux points de discontinuité de première espèce, c'est-à-dire à l'endroit où on a des sauts, justement. Alors commençons par définir, la notion d'élément de longueur sur une courbe plane, sur une courbe de R2, et, avec l'élément de longueur nous allons pouvoir définir une notion d'intégrale curviligne, ou, si vous voulez, d'intégration d'une fonction qui est portée par une courbe tracée dans le plan. Donc je rappelle la définition d'un arc paramétré simple. Je considère une application, qui à t associe gamma de t, t varie dans un intervalle de R, dans un segment de R, gamma de t est un point de R2, et nous noterons grand Gamma l'image de l'intervalle I, ou du segment I par l'application petit gamma, et nous supposerons que cette application petit gamma est injective, c'est le mot injectif qui répond au mot simple dans un arc paramétré simple. Nous supposerons en outre que cette application est de classe C1 sur le segment, et d'autre part que gamma point de t, le vecteur dérivé de gamma par rapport au paramètre t, est différent de zéro pour tout t dans I. Alors, maintenant, il faut définir ce que l'on appelle une abscisse curviligne sur grand Gamma, donc sur l'image de l'application petit gamma, c'est tout simplement une fonction petit s, qui est définie sur grand gamma, à valeur réelle, qui vérifie la propriété que, si je dérive par rapport à t la composée de s avec gamma, j'obtiens bien ici, puisque gamma de t, par définition, varie dans grand Gamma, je peux bien parler de s de gamma de t puisque s est une fonction définie sur grand Gamma, donc, une abscisse curviligne, c'est une fonction s définie sur grand Gamma à valeur réelle, telle que d sur dt de s rond gamma de t soit égal à la norme euclidienne du vecteur dérivé gamma point de t. Une fois qu'on a la notion d'abscisse curviligne, l'élément de longueur sur la courbe gamma, c'est la différentielle d'une abscisse curviligne. Autrement dit ds de gamma de t qui est égal à norme euclidienne de gamma point de t, vecteur dérivé de gamma par rapport au paramètre, fois dt. Évidemment, comme la notion d'abscisse curviligne est définie par la dérivée par rapport au temps de s rond gamma égal à quelque chose, les abscisses curvilignes sur gamma sont définies à une constante près. C'est pour ça qu'on parle d'une différentielle d'une abscisse curviligne, mais en revanche, évidemment, comme deux abscisses curvilignes sont différentes d'une constante, leur différentielle est toujours la même. C'est l'élément de longueur sur la courbe gamma. Une fois qu'on a l'élément de longueur sur la courbe grand Gamma, eh bien on peut parler de notion de longueur de cette courbe grand Gamma, c'est l'intégrale curviligne de ds de M, qui est égal à l'intégrale sur le segment I de gamma point de t norme euclidienne, dt, alors si on a pris un segment fermé, I est donc un intervalle compact de R, et donc on est en train d'intégrer sur I qui est un compact, une fonction continue, donc évidemment, le nombre qu'on trouve ainsi est fini. Plus généralement, on peut intégrer sur la courbe grand Gamma des fonctions continues, ou, si on veut, ce qui suffit dans le cadre de la théorie des distributions des fonctions de classe C infini à support compact sur R2, donc je prends une fonction phi qui est de classe C infini à support compact sur R2, et je la restreins à grand Gamma, et je considère l'intégrale curviligne sur la courbe grand Gamma de phi de M, ds de M, qui par définition n'est rien d'autre que l'intégrale sur le segment I, de phi de gamma de t, norme euclidienne de gamma point de t, dt. On a défini ainsi une forme linéaire sur C infini à support compact de R2, dont il est immédiat de vérifier que c'est une distribution d'ordre zéro. Alors maintenant, voyons ce qui se passe en dimension 3. Alors en dimension 3, je vais m'intéresser à la notion de surface de R3 et aux notions de plan tangent et de vecteur normal. Alors je vais considérer un pavé de R2, autrement dit je donne I et J des segments de R, et je regarde une application qui est donnée dans le pavé I croix J, produit cartésien I croix J qui à deux paramètres u et v associe un point de R3, M de u v, et cette application, je suppose qu'elle est de classe C1, je suppose qu'elle est injective, je suppose d'autre part que, si je regarde les vecteurs d rond M sur d rond u en u v et d rond M sur d rond v en u v, ces deux vecteurs forment une partie libre pour tout point u, v appartenant au pavé I croix J. Ce que l'on a défini ainsi, c'est ce que l'on appelle une nappe paramétrée, et cette nappe paramétrée elle est sans points multiples, ou elle est simple, parce que on a supposé que l'application qui à u v associe M de u, v est injective. À partir de la donnée d'une nappe paramétrée, on peut définir la notion de plan tangent, T indice M de u, v de sigma à la surface sigma, au morceau de surface sigma, qui est l'image du pavé I croix J, par l'application qui à u, v associe M de u, v. Ce plan tangent, qu'est-ce que c'est? C'est le plan affine de R3 d'origine M de u, v et dont la direction est l'espace vectoriel engendré par les vecteurs d rond M sur d rond u, et d rond M sur d rond v au point u, v. Comme la partie d rond M sur d rond u, d rond M sur d rond v, au point u, v est une partie libre, le sous-espace vectoriel que cette partie engendre dans R3 est un plan vectoriel. Ainsi, l'espace affine qu'on a défini, sous-espace affine de R3 ainsi défini est un plan affine de R3. Enfin, on va définir la notion de vecteur normal à la surface sigma qui est l'image par M du pavé I croix J, au point M de u, v, eh bien pour définir un vecteur normal, ce que l'on fait, on prend deux vecteurs tangents non-colinéaires, par exemple d rond M sur d rond u et d rond M sur d rond v au point u,v, et on en effectue le produit vectoriel dans R3. Donc, un vecteur normal à la surface sigma au point M de paramètre u, v, est donné par le produit vectoriel d rond M sur d rond u vectoriel d rond M sur d rond v au point u, v. Alors, si on fait un petit dessin pour résumer la situation, vous voyez ici en noir la surface sigma, en rouge le plan tangent T M sigma, à sigma au point grand M de paramètres u et v, j'ai représenté en rouge les vecteurs tangents, grand U qui est d rond M sur d rond u au point u, v, et grand V qui est d rond M sur d rond v au point u, v. Le vecteur normal, un vecteur normal au point M de u, v à la surface sigma, celui que j'ai défini dans le transparent précédent, c'est donc grand N égal U vectoriel V. Bien, avec ces notions géométriques, on peut maintenant définir la notion d'élément d'aire sur une surface de R3. Alors, pour faire ça, on pose tout simplement que l'élément d'aire sur sigma, d sigma au point M de u, v est égal à la norme euclidienne de d rond M sur d rond u vectoriel d rond M sur d rond v au point u, v, dudv. Avec cette notion d'élément d'aire sur sigma, de la même manière qu'on avait une notion d'intégrale curviligne sur des courbes de classe C1 dans le plan, on va définir une notion de distribution de simple couche portée par la surface sigma, qui sera une distribution d'ordre zéro, dite distribution de simple couche de densité f portée par la surface sigma, et qui est définie de la manière suivante: à toute fonction S phi de classe C infini à support compact sur R3, j'associe l'intégrale sur sigma de f de M, fois phi de M, d sigma de M, d sigma de M, c'est l'élément d'aire sur sigma, et évidemment, ce que ça veut dire, en terme des paramètres u et v, c'est l'intégrale sur le pavé I croix J du produit f phi calculé au point M de u,v, que multiplie la norme euclidienne de d rond M sur d rond u, vectoriel d rond M sur d rond v au point u,v, dudv. Maintenant, on a donné pour des courbes et des surfaces paramétrées les formules pour les éléments de longueur et d'aire, voyons ce que deviennent ces formules pour des courbes en coordonnées cartésiennes qui sont données par des équations ou des surfaces en coordonnées cartésiennes qui sont données par des équations, alors je commence par le cas de la courbe. Une courbe de R 2 peut être donnée par une équation y égale f de x avec f qui est de classe C1, et dans ce cas, il est très simple de vérifier que l'élément de longueur au point x, f de x, ds, est égale à racine carrée de 1 plus f prime de x au carré, dx. De la même manière, si je prends une surface de R3 d'équation z égale f de x, y avec f qui est de classe C1, il est très simple de vérifier que l'élément d'aire d sigma au point de coordonnés x, y, f de x, y, sera la racine carrée de 1 plus d rond f sur d rond x au carré au point x, y, plus d rond f sur d rond y au carré au point x, y, dxdy, ce qui est la même chose que racine carrée de 1 plus la norme euclidienne du gradient de la fonction f au point x, y, dxdy. Alors voyons un calcul dans un exemple élémentaire qui est celui de la sphère unité de R3. Et on va obtenir la formule bien connue qui donne l'élément d'aire sur la sphère unité R3 en coordonnées sphériques. Alors je rappelle que les coordonnées sphériques sur la sphère unité de R3 sont définies par deux angles, phi et thêta, alors phi varie de moins pi à pi, c'est la longitude, et thêta varie de zéro à pi, c'est la colatitude, c'est-à-dire que c'est pi sur 2 moins la latitude. Et donc au point de paramètre phi et thêta, correspondant à ces deux angles, latitude et colatitude, on associe le point de coordonnées dans R3, cosinus phi sinus thêta, sinus phi sinus thêta, cosinus thêta. Alors ce point, évidemment, appartient à la sphère unité mais lorsque phi et têtha varient dans le pavé ouvert moins pi, pi croix zéro, pi, le point qu'on obtient ainsi ne décrit pas toute la sphère unité, mais la sphère unité moins, en géographie on l'appellerait la ligne de changement de date, c'est-à-dire la sphère unité moins son intersection avec le demi-plan d'équation x1 inférieur ou égal à zéro, et x2 égal à zéro. Alors maintenant, calculons l'élément d'aire sur la sphère unité, au moyen du paramétrage par les angles phi et thêta, donc on calcule d rond M sur d rond phi, on trouve que ça vaut moins sinus phi sinus thêta, cosinus phi sinus thêta, zéro, on calcule d rond M sur d rond thêta, on trouve que ça vaut cosinus phi cosinus thêta, sinus phi cosinus thêta, moins sinus thêta, on effectue le produit vectoriel de ces deux vecteurs et on trouve le vecteur moins cosinus phi sinus carré thêta, moins sinus phi sinus carré thêta, moins cosinus thêta sinus thêta. Donc la norme euclidienne vaut sinus de thêta puissance 4, plus cosinus carré thêta, sinus carré thêta. On met sinus carré thêta en facteur et on voit très simplement que l'élément d'aire vaut d sigma égale sinus de thêta, d phi d thêta, qui est la formule à laquelle on est habitué en coordonnées sphériques. Alors j'ai représenté sur ce dessin la longitude phi, et la colatitude thêta, correspondant à un point grand M de la sphère. Alors là j'ai pris une sphère de rayon r arbitraire, mais pour r égale à 1, bien sûr on retrouve le paramétrage que j'ai donné dans le transparent précédent. On va terminer cette partie géométrique en définissant la notion d'ouvert à bord de classe C1 de R N avec N égale 2 ou 3. Alors, en dimension 2 ou 3, on dira que oméga inclus dand R N avec N égale 2 ou 3, est un ouvert à bord de classe C1, si, petit a, la frontière de oméga, notée d rond oméga, est une courbe de classe C1 de R2, lorsque N est égale à 2, bien sûr, ou une surface de classe C1 de R3 lorsque N est égale à 3, d'une part, et d'autre part, on demande que localement, au voisinage de tout point sur sa frontière, oméga soit d'un seul côté de la frontière de oméga. On notera systématiquement petit n le champ unitaire normal à la frontière de oméga dirigé vers l'extérieur de oméga. Voyons quelques exemples sur un dessin de ce qui est un ouvert à bord de classe C1, et ce qui n'est pas un ouvert à bord de classe C1. J'ai représenté ici une ellipse dans le plan euclidien R2, c'est un exemple d'ouvert oméga, dont le bord, gamma, qui est la courbe, l'ellipse, donc gamma égale d rong oméga, c'est une courbe de classe C1, même de classe C infini dans R2, et on a un champ extérieur unitaire normal sur gamma qui est parfaitement défini en tout point, donc on a un vecteur unitaire n de x qui est normal à la courbe et qui est dirigé vers l'extérieur de l'ellipse. Donc on a ici un exemple d'ouvert à bord de classe C1 dans le plan. Prenons le cas d'un polygone. Donc l'ouvert qui est représenté sur ce shéma n'est pas un ouvert à bord de classe C1 car la frontière de oméga n'est pas une courbe de classe C1 de R2, c'est ici une courbe polygonale donc qui est seulement de classe C1 par morceaux. Donc, aux points anguleux, aux sommets du polygone, il n'est pas possible de définir un vecteur normal à la courbe. Voici un exemple un tout petit plus compliqué qui lui se rapporte á la condition petit b de la définition d'ouvert à bord de classe C1 concernant l'orientation. Alors je regarde ici à nouveau l'ellipse, alors je considère la courbe grand Gamma, qui est l'ellipse, je considère l'intérieur de l'ellipse, et dans l'intérieur de l'ellipse je retire un cercle, disons qui est le cercle petit gamma. Donc le complémentaire de petit gamma dans l'intérieur de l'ellipse, c'est oméga 1 union oméga 2, qui est évidemment un ouvert du plan, mais ce n'est pas un ouvert à bord de classe C1 parce que le bord de cet ouvert, c'est petit gamma union grand Gamma. C'est bien une réunion de courbes de classe C1 de R2, mais oméga 1 union oméga 2, il est situé de chaque côté de petit gamma au voisinage de tout point de petit gamma. Donc sur petit gamma, on ne peut pas définir la notion de vecteur normal extérieur à grand Oméga. Pour cette raison, oméga 1 union oméga 2 n'est pas un ouvert à bord de classe C1 bien que le bord ait la régularité voulue.
